Question

在等腰直角三角形ABC中，C=90°，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是（5，4），求边AB 和AC所在的直线方程．

Answer 1

分析：由垂直关系求得AC斜率，点斜式求AC所在的直线方程．设出直线AB的方向向量，由AB和AC夹角等于45°，
求出AB的方向向量，即得它的斜率，点斜式求出 AB所在的直线方程．

解答：解：AC的斜率k₁=

3

2

，∴AC所在的直线方程为 y-4=

3

2

（x-5），即 3x-2y-7=0．
设直线AB的方向向量为

a

=(m，n)，又直线AC的方向向量

b

=(2，3)，且＜

a

，

b

＞=45°，
 所以，

a • b

| a || b |

=

2

2

，即

2m+3n

13 m2+n2

=

2

2

，∴2（2m+3n）²=13（m²+n²），
∴5m2-24mn-5n2=0，解得m=-

1

5

n或m=5n，
故直线AB的方向向量为

a

=(1，-5)或

a

=(1，

1

5

)，
 即 直线AB的斜率k=-5或

1

5

．∴AB所在的直线方程为 y-4=-5（x-5），或 y-4=

1

5

（x-5），
即：5x+y-29=0或x-5y+15=0．

点评：本题考查用点斜式求直线方程的方法，直线的方向向量及两个向量的夹角公式得应用，求直线AB的斜率是解题的难点和关键．