Question

已知函数f(x)=2sinxcosx-sin(

π

2

+2x)+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式和诱导公式将函数f（x）化简为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，即可求出答案．
（2）根据2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，求出x的取值范围即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sinxcosx-sin(

π

2

+2x)+1=sin2x-cos2x+1=

2

sin(2x-

π

4

)+1．
所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1+

2

（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

(k∈Z)
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)
得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

(k∈Z)
所以单调增区间[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；单调减区间[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

](k∈Z)．

点评：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期、单调区间的求法．这种题型要先对函数进行化简再求解．