Question

（2012•静安区一模）已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|+|x-a|的图象关于垂直于x轴的直线对称，则a的取值集合是

{-3，0，3}

．

Answer 1

分析：利用“f（x）的图象关于直线x=k对称，有f（x）=f（2k-x）”分析即可得到答案．

解答：解：设对称轴x=k，则f（x）=|x+1|+|x-1|+|x-a|=|2k-x+1|+|2k-1-x|+|2k-x-a|．
①若k=0，f（x）=|x+1|+|x-1|+|x-a|=|-x+1|+|-1-x|+|-x-a|，
∴a=0满足题意；
②若k不为0，
f（x）=|x+1|+|x-1|+|x-a|=|2k-x+1|+|2k-1-x|+|2k-x-a|，
1°，若|x+1|=|-x-1|=|2k-x+1|，则2k+1=-1，k=-1；
此时，|x-a|=|2k-1-x|，2k-1=a，a=-3，
于是|x-1|=|2k-x-a|=|-2-x-（-3）|=|1-x|满足题意，
∴a=-3满足题意；
2°，同理当2k+1=a，2k-1=1，2k-a=-1时，a=3．
综上所述，a的取值集合是{-3，0，3}．
故答案为：{-3，0，3}．

点评：本题考查带绝对值的函数，考查f（x）的图象关于直线x=k对称，分析得到f（x）=f（2k-x）是解决问题的关键，也是难点，考查转化与分类讨论思想，属于难题．