题目内容

若正三棱柱的高为 $数学公式$ cm，连接上底面中心与下底面一边的中点的直线与底面成45°，则这个正三棱柱的体积为________cm³．

27
分析：由题设知底面等边三角形的重心到底面一边的中点的距离是 $\text{[math]}$ ，由此能求出底面等边三角形的边长是6，底面等边三角形的面积是9 $\text{[math]}$ ，从而能够求出这个正三棱柱的体积．
解答：∵正三棱柱的高为 $\text{[math]}$ cm，
连接上底面中心与下底面一边的中点的直线与底面成45°，
∴底面等边三角形的重心到底面一边的中点的距离是 $\text{[math]}$ ，
∴底面等边三角形的边长是6，
∴底面等边三角形的面积
S= $\text{[math]}$ =9 $\text{[math]}$ ，
∴这个正三棱柱的体积V=9 $\text{[math]}$ =27（cm³）．
故答案为：27．
点评：本题考查正三棱锥的体积的求法，是基础题．解题时要认真审题，要求熟练掌握正三棱锥的结构特征．