Question

正四面体S-ABC中，E为SA的中点，F为△ABC的中心，则直线EF与平面ABC所成的角的正切值是（　　）

• A、

  3

  10

  10

• B、1
• C、

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

分析：做出辅助线，连接AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连接EG，证出线面角，把线面角放到一个直角三角形中，根据三角函数的定义得到结果，

解答：解：连接SF，则SF⊥平面ABC．连接AF并延长交BC于H，取线段AF的中点G，连接EG，由E为SA的中点，则EG∥SF，
∴EG⊥平面ABC，
∴∠EFG即为EF与平面ABC所成的角． 
设正四面体的边长为a，则AH=

3

2

a，且AF=

3

3

a，
在Rt△AGE中，AE=

1

2

a，AG=

1

2

AF=

3

6

a，∠EGA=90°，
∴EG=AE²-AG²=

6

6

a．
在Rt△EGF中，FG=

1

2

AF=

3

6

a，EG=

6

6

a，∠EGF=90°，
∴tan∠EFG=

2

即EF与平面ABC所成的角的正切值是

2

，
故选C．

点评：本题考查直线与平面所成的角，本题解题的关键是先做出线面角，再证出线面角，最后把角放到一个三角形中解出结果．