Question

【题目】已知抛物线的焦点为，为坐标原点，是抛物线上异于的两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点．

Answer 1

【答案】（1）y2=4x； （2）直线AB过x轴上一定点（8，0）.

【解析】

（I）利用抛物线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；（Ⅱ）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可．

（Ⅰ）因为抛物线的焦点坐标为，所以，所以.

所以抛物线的方程为.

（Ⅱ）证明：①当直线的斜率不存在时，设，，

因为直线，的斜率之积为，所以，化简得.

所以，，此时直线的方程为.

②当直线的斜率存在时，设其方程为，，，

联立得化简得.

根据根与系数的关系得，

因为直线，的斜率之积为，

所以，

即.即，

解得（舍去）或.

所以，即，所以，

即.

综上所述，直线过轴上一定点.