Question

4．设数列{a_n}的前n项和S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，满足T_n=3S_n-2n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：S_n≥1，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式：n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，以及构造等比数列，由等比数列的通项公式可得，注意n=1的情况是否成立；
（2）由（1）可得数列{S_n}在n∈N^*递增，即可得证．

解答 解：（1）T_n=3S_n-2n，n∈N^*．①
当n=1时，T₁=S₁=3S₁-2，
可得S₁=1，
n=2时，S₁+S₂=3S₂-4，
解得S₂=$\frac{5}{2}$，
当n≥2时，T_n-1=3S_n-1-2（n-1），②
①-②可得S_n=3S_n-3S_n-1-2，
即为S_n=$\frac{3}{2}$S_n-1+1，
即有S_n+2=$\frac{3}{2}$（S_n-1+2），
则S_n+2=（S₂+2）•（$\frac{3}{2}$）^n-2，
可得S_n=$\frac{9}{2}$•（$\frac{3}{2}$）^n-2-2=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2，对n=1也成立，
则S_n=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2，n∈N^*．
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2-3•（$\frac{3}{2}$）^n-2+2
=（$\frac{3}{2}$）^n-1，对n=1也成立，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1，n∈N^*．
（2）证明：由（1）得S_n=3•（$\frac{3}{2}$）^n-1-2，n∈N^*．
由于$\frac{3}{2}$＞1，可得数列{S_n}递增，
即有S_n≥S₁=1，
则S_n≥1，n∈N^*．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意数列递推式：n=1时，a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，以及等比数列的定义和通项公式，考查数列不等式的证明，注意运用单调性，考查运算能力，属于中档题．