Question

已知函数是定义在R 上的奇函数．
（1）求θ的值和函数f（x）的单调递减区间；
（2）若三角形ABC三个内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，△ABC的面积等于函数f（A）的最大值，求f（A）取最大值时a的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先化简函数f（x），根据奇函数可知f（0）=0，以及θ的范围求出θ的值；由正弦函数的单调减区间，求得f（x）的单调减区间；
（2）先利用正弦的值域求得f（A）≤，当A=时等于三角形的面积，然后根据S_△ABC=，求得bc=4，进而由余弦定理和放缩求得a 的最小值．
解答：解：（1）=（2分）
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），易知f（0）=0，，∴，∵，∴，∴．（4分）
此时为R上的奇函数，∴符合题意（5分）
又由，得，
∴函数f（x）的单调递减区间为（7分）
（2），
∴，（9分），∴bc=4，（10分）
由余弦定理可以知道，（12分）
∴．
∴a的最小值是（14分）
点评：本题考查了三角函数的最值和单调性，对于（2）问，注意放缩和余弦定理的运用，本题综合性强，属于中档题．