Question

20．△ABC的三内角A，B，C 所对边长分别为a，b，c，a²-b²=bc，AD为角A的平分线，且△ACD与△ABD面积之比为1：2．
（1）求角A的大小；
（2）若 AD=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由a²-b²=bc得$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{bc+{c^2}}}{2ac}$，由正弦及余弦定理化简整理可得A=2B，由AD为角A的平分线，且S_△ACD：S_△ABD=1：2，解得$c=2b，a=\sqrt{3}b$，由正弦定理可得cosB，即可求得B，A的值．
（2）由已知可求BD，CD，AC，根据三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由a²-b²=bc得$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{bc+{c^2}}}{2ac}$，
由正弦及余弦定理得：$cosB=\frac{sinB+sinC}{2sinA}$，…（2分）
可得：2sinAcosB=sinB+sin（A+B），
整理得sin（A-B）=sinB，即A=2B，…（4分）
因为AD为角A的平分线，且S_△ACD：S_△ABD=1：2，
所以$c=2b，a=\sqrt{3}b$，
所以$sinA=\sqrt{3}sinB$，…（6分）$⇒sin2B=\sqrt{3}sinB⇒cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$即$B=\frac{π}{6}，A=\frac{π}{3}$…（8分）
（2）∵$AD=\sqrt{3}$
所以$AD=BD=\sqrt{3}，CD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，AC=\frac{3}{2}$，…（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×\frac{{3\sqrt{3}}}{2}×\frac{3}{2}=\frac{{9\sqrt{3}}}{8}$．   …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力，熟练掌握和灵活应用相关公式定理是解题的关键，属于基本知识的考查．