题目内容
顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A0（1，1），过A0作抛物 线的切线交x轴于B1，过B1点作x轴的垂线交抛物线于A1，过A1作抛物线的切线交x轴于B2，…，过An（xn，yn）作抛物线的切线交x轴于B n+1（x n+1，0）
（1）求{xn}，{yn}的通项公式；
（2）设an=
+
，数列{an}的前n项和为Tn．求证：Tn＞2n﹣
．
（3）设bn=1﹣log2yn，若对任意正整数n，不等式（1+
）（1+
）…（1+
）≥a
成立，求正数a的取值范围．
（1）求{xn}，{yn}的通项公式；
（2）设an=
+，数列{an}的前n项和为Tn．求证：Tn＞2n﹣．（3）设bn=1﹣log2yn，若对任意正整数n，不等式（1+
）（1+）…（1+）≥a成立，求正数a的取值范围．
解：（1）由已知得抛物线方程为y=x2，y'=2x，
则设过点An（xn，yn）的切线为y﹣xn2=2xn（x﹣xn），
令y=0，x=
，故x n﹣1=
，
又x0=1，∴xn=
，yn=
，
（2）证明：由（1）知xn=
，
所以an=
+
=
+
=2﹣（
﹣
），
由于
＜
，
＞
，
得
﹣
＜
﹣
，
∴an=2﹣（
﹣
）＞2﹣（
﹣
），
从而Tn=a1+a2+a3+…+an＞2n﹣[（
﹣
）+（
﹣
）+…+（
﹣
）]
=2n﹣（
）＞2n﹣
，
即Tn＞2n﹣
，
（3）由于yn=
，故bn=2n+1，对于任意正整数n，
不等式（1+
）（1+
）…（1+
）≥a
，
a≤
（1+
）（1+
）…（1+
）恒成立，
设f（n）=
（1+
）（1+
）…（1+
），
∴f（n+1）=
（1+
）（1+
）…（1+
）（1+
），
=
×（1+
）=
×
=
=
＞1，
∴f（n+1）＞f（n），故f（n）为递增，
∴f（n）min=f（1）=
×
=
，
∴0＜a≤
．
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+
，数列{an}的前n项和为Tn．求证：Tn＞2n-
．
）（1+
）…（1+
）≥a
成立，求正数a的取值范围．
+
，数列{an}的前n项和为Tn．求证：Tn＞2n-
．
）（1+
）…（1+
）≥a
成立，求正数a的取值范围．
，过点
作抛物线的切线交x轴于点B1，过点B1作x轴的垂线交抛物线于点A1，过点A1作抛物线的切线交x轴于点B2，…，过点
作抛物线的切线交x轴于点
．
；
，数列{ an}的前n项和为Tn．求证：
；
，若对于任意正整数n，不等式
…
≥
成立，求正数a的取值范围．
，过点
作抛物线的切线交x轴于点B1，过点B1作x轴的垂线交抛物线于点A1，过点A1作抛物线的切线交x轴于点B2，…，过点
作抛物线的切线交x轴于点
．
；
，数列{ an}的前n项和为Tn．求证：
；
，若对于任意正整数n，不等式
…
≥
成立，求正数a的取值范围．