Question

顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A₀（1，1），过A₀作抛物  线的切线交x轴于B₁，过B₁点作x轴的垂线交抛物线于A₁，过A₁作抛物线的切线交x轴于B₂，…，过A_n（x_n，y_n）作抛物线的切线交x轴于B_n+1（x_n+1，0）
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式；
（2）设a_n=

1

1+xn

+

1

1-xn+1

，数列{a_n}的前n项和为T_n．求证：T_n＞2n-

1

2

．
（3）设b_n=1-log₂y_n，若对任意正整数n，不等式（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

）≥a

2n+3

成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知得抛物线方程为y=x²，y^′=2x，设过点A_n（x_n，y_n）的切线为y-x_n²=2x_n（x-x_n），令y=0和x=0，即可求出{x_n}，{y_n}的通项公式．
（2）由（1）知x_n=

1

2n

，代入可得a_n=

1

1+ 1 2n

+

1

1- 1 2n+1

=

2n

2n+ 1

+

2n+1

2n+1-1

=2-（

1

2n+ 1

-

1

2n+1-1

），从而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n-[（

1

2

-

1

22

）+（

1

22

-

1

23

）+…+（

1

2n

-

1

2n+1

）]=2n-（

1

2

-

1

2n+1

）＞2n-

1

2

，于是结论即可证得．
（3）由于y_n=

1

4n

，可得b_n=2n+1，则可得不等式（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

）≥a

2n+3

，分离系数a，可得a≤

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

），然后令f（n）=

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

），根据函数的单调性解决a的取值范围．

解答：解：（1）由已知得抛物线方程为y=x²，y^′=2x，
则设过点A_n（x_n，y_n）的切线为y-x_n²=2x_n（x-x_n），
令y=0，x=

xn

2

，故x_n-1=

xn

2

，
又x₀=1，∴x_n=

1

2n

，y_n=

1

4n

，
（2）证明：由（1）知x_n=

1

2n

，
所以a_n=

1

1+ 1 2n

+

1

1- 1 2n+1

=

2n

2n+ 1

+

2n+1

2n+1-1

=2-（

1

2n+ 1

-

1

2n+1-1

），
由于

1

2n+ 1

＜

1

2n

，

1

2n+1-1

＞

1

2n+1

，
得

1

2n+ 1

-

1

2n+1-1

＜

1

2n

-

1

2n+1

，
∴a_n=2-（

1

2n+ 1

-

1

2n+1-1

）＞2-（

1

2n

-

1

2n+1

），
从而T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n＞2n-[（

1

2

-

1

22

）+（

1

22

-

1

23

）+…+（

1

2n

-

1

2n+1

）]=2n-（

1

2

-

1

2n+1

）＞2n-

1

2

，
即T_n＞2n-

1

2

，
（3）由于y_n=

1

4n

，故b_n=2n+1，
对于任意正整数n，不等式（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

）≥a

2n+3

，
a≤

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

）恒成立，
设f（n）=

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

），
∴f（n+1）=

1

2n+5

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）…（1+

1

bn

）（1+

1

bn+1

），

f(n+1)

f(n)

=

2n+3

2++5

•（1+

1

bn+1

）=

2n+3

2++5

•

2n+4

2n+3

=

2n+4

2n+5 2n+3

=

4n2+16n+16

4n2+16n+15

＞1，
∴f（n+1）＞f（n），故f（n）为递增，
∴f（n）_min=f（1）=

1

5

•

4

3

=

4 5

15

，
∴0＜a≤

4 5

15

．

点评：本题主要考查数列与解析几何综合的知识点，本题是一道综合性比较强的习题，解答本题的关键是准确求出数列{x_n}，{y_n}的通项公式，熟练利用函数单调性求最值等知识点，此题难度较大．