Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率。它有一个顶点恰好是抛物线=4y的焦点。过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且。
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左右顶点分别为A，B，直线AC（C点不同于A，B）与直线交于点R，D为线段RB的中点。试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论。

Answer 1

（Ⅰ）动点的轨迹的方程为；（Ⅱ）直线与圆相切．

试题分析：（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程，由题意首先求出椭圆的方程为，设，，由已知，找出与之间的关系，利用点在椭圆上，代入即可求出动点C的轨迹E的方程；（Ⅱ）判断直线CD与曲线E的位置关系，由（Ⅰ）动点的轨迹的方程为，主要看圆心到直线距离与半径之间的关系，因此，主要找直线的方程，设，则，由题意三点共线，得 ∥，设点的坐标为，利用共线，求出，得点的坐标为，从而得点的坐标为，这样写出直线的方程，利用点到直线位置关系，从而可判断直线CD与曲线E的位置关系．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为，则由题意知b = 1，，
∴，，所以椭圆的方程为。（2分）
设，，由题意得，即
又，代入得，即。
即动点的轨迹的方程为。（6分）
（Ⅱ）设，点的坐标为，
∵三点共线，∴ ∥，
而，，则，∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴直线的斜率为，（9分）
而，∴，∴，
∴直线的方程为，化简得，
∴圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切。（13分）