Question

已知函数f（x）=x²+lnx-ax，a∈R．．
（1）若a＞0，求函数f（x）的单调区间
（2）若f（x）在（0，1）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出其导函数，对参数a分类讨论后，找到导数大于0，以及小于0对应的区间即可求出函数的单调区间（注意是在定义域内找）；
（2）函数f（x）在（0，1）上是增函数，转化为f′（x）=2x+

1

x

-a≥0在x∈（0，1）上恒成立，即2x+

1

x

≥a在xx∈（0，1）上恒成立，再利用基本不等式求出不等式左边的最小值即可求得结论．

解答：解：（1）由于f′（x）=2x+

1

x

-a=

2x2-ax+1

x

（a＞0，x＞0）
①当a＞2

2

时，△=a²-4×2×1=a²+8＞0，令f′（x）＞0，解得 0＜x＜

a- a2-8

4

或x＞

a+ a2-8

4

则f（x）的增区间是(0，

a- a2-8

4

)，(

a+ a2-8

4

，+∞)，减区间是(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)；
②当0＜a≤2

2

时，△=a²+8≤0，则f′（x）≥0恒成立
故f（x）的增区间是（0，+∞）．
（2）由于函数f（x）在（0，1）上是增函数，
则f′（x）=2x+

1

x

-a≥0在x∈（0，1）上恒成立，
即2x+

1

x

≥a在xx∈（0，1）上恒成立，
令g（x）=2x+

1

x

，
则g（x）≥2

2x• 1 x

=2

2

．
∴a≤2

2

．
实数a的取值范围a≤2

2

．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是．教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．