题目内容

如图，设点 $数学公式$ 上的动点，过点P作抛物线 $数学公式$ 的两条切线，切点分别是A、B．已知圆C₁的圆心M在抛物线C₂的准线上．
（I）求t的值；
（Ⅱ）求 $数学公式$ 的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．

解：（Ⅰ）圆C₁的圆心M（0，-1），抛物线C₂的准线为y=- $\text{[math]}$ ，
∵圆C₁的圆心M在抛物线C₂的准线上，∴ $\text{[math]}$ ，解得t=4．
∴t的值为4．
（Ⅱ）由题意可知：切线PA、PB的斜率都存在，分别为k₁，k₂，切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
设过点P的抛物线的切线l：y=k（x-m）+n，代入x²=4y，
可得x²-4kx+（4km-4n）=0（*）
∵直线l与抛物线相切，∴△=16k²-4×（4km-4n）=0，化为k²-km+n=0．
∴k₁+k₂=m，k₁k₂=n．（**）
此时，x₁=2k₁， $\text{[math]}$ ；同理，x₂=2k₂， $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ =（x₁-m）（x₂-m）+（y₁-n）（y₂-n）
= $\text{[math]}$
=4k₁k₂-2m（k₁+k₂）+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
=4n-2m²+m²+n²-n（m²-2n）+n²
=4n²+4n-m²（1+n）．
∵点P（m，n）在圆C₁上，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，代入上式可得
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
考查函数f（n）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
求得f^′（n）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
令f^′（n）=0，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ 时，f^′（n）＜0，f（n）单调递减；
当 $\text{[math]}$ 时，f^′（n）＞0，f（n）单调递增．
∴当 $\text{[math]}$ 时，f（n）取得最小值 $\text{[math]}$ ．
此时对应的点P $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）先分别求出圆心坐标和抛物线的准线方程，进而即可得出；
（Ⅱ）设出切线的方程，并与抛物线的方程联立，由相切可得△=0，利用根与系数的关系及数量积即可得出 $\text{[math]}$ ，再利用点P在圆上及函数的导数即可求出最小值．
点评：熟练掌握圆锥曲线的定义与性质、直线与圆锥曲线相切问题的解决模式、根与系数的关系、利用导数求函数的最值等是解题的关键．