Question

已知A、B分别是直线和上的两个动点，线段AB的长为，D是AB的中点．
（1）求动点D的轨迹C的方程；
（2）过点N（1，0）作与x轴不垂直的直线l，交曲线C于P、Q两点，若在线段ON上存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，试求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）设．
∵D是线段AB的中点，∴，．（2分）
∵|AB|=，∴+=12，
∴．
化简得点D的轨迹C的方程为．（5分）
（2）设l：y=k（x-1）（k≠0），代入椭圆，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，∴，∴．（7分）
∴PQ中点H的坐标为．
∵以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形，∴k_MH•k=-1，
∴，即．（9分）
∵k≠0，∴．（11分）
又点M（m，0）在线段ON上，∴0＜m＜1．
综上，．（12分）
分析：（1）先设出D与A，B的坐标，用中点坐标公式把点D表示出来，再代入弦长公式即可得动点D的轨迹C的方程；
（2）把直线方程与轨迹C的方程联立求出与P、Q两点的坐标有关的等量关系，进而求出PQ的中点坐标，再利用菱形的对角线互相垂直即可求出m的取值范围．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识．