Question

如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，CA＝CB，AB＝AA₁，∠BAA₁＝60°．

(Ⅰ)证明AB⊥A₁C；

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB＝CB＝2，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解析　(Ⅰ)取AB中点E，连结CE，，， 　　∵AB＝，＝，∴是正三角形， 　　∴⊥AB，∵CA＝CB，∴CE⊥AB，∵＝E，∴AB⊥面， 　　∴AB⊥；……6分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB，⊥AB， 　　又∵面ABC⊥面，面ABC∩面＝AB，∴EC⊥面，∴EC⊥， 　　∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系， 　　有题设知A(1，0，0)，(0，，0)，C(0，0，)，B(－1，0，0)，则＝(1，0，)，＝＝(－1，0，)，＝(0，－，)，……9分 　　设＝是平面的法向量， 　　则，即，可取＝(，1，－1)， 　　∴＝， 　　∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为．……12分

提示：

本题主要考查空间线面、线线垂直的判定与性质及线面角的计算，考查空间想象能力、逻辑推论证能力，是容易题．