Question

数列{a_n}满足a1=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^×）
（Ⅰ）设C_n=log₅（a_n+3），求证{C_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=

1

an-6

-

1

a 2 n +6an

，数列{b_n}的前n项的和为T_n，求证：-

5

16

≤Tn≤-

1

4

．

Answer 1

分析：（I）由已知可得，a_n+1+3=（a_n+3）²，利用构造法令C_n=log₅（a_n+3），则可得

cn+1

cn

=2，从而可证数列{c_n}为等比数列
（II）由（I）可先求数列c_n，代入c_n=log₅（a_n+3）可求a_n
（III）把（II）中的结果代入整理可得，bn=

1

an-6

-

1

an+1-6

，则代入T_n=b₁+b₂+…+b_n相消可证

解答：解：（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得a_n+1+3=（a_n+3）²，
∴

log	(an+1+3) 5

=2

log

(an+3) 5

，即c_n+1=2c_n
∴{c_n}是以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）又c₁=log₅5=1，
∴c_n=2^n-1，即

log

(an+3) 5

=2^n-1，
∴a_n+3=52n-1
故a_n=52n-1-3
（Ⅲ）∵b_n=

1

an-6

-

1

an2+6an

=

1

an-6

-

1

an+1-6

，∴T_n=

1

a1-6

-

1

an+1-6

=-

1

4

-

1

52n-9

．
又0＜

1

52n-9

≤

1

52-9

=

1

16

．
∴-

5

16

≤T_n＜-

1

4

点评：本题考查了利用定义证明等比数列：数列{a_n}为等比数列?

an

an-1

=q≠0；利用构造法求数列的通项公式及数列的求和公式，属于对基本知识的综合考查．试题难度不大．