Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，an+1=(

2

-1)(an+2)，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}中，b₁=2，bn+1=

3bn+4

2bn+3

，n=1，2，3，…，证明：

2

＜bn≤a4n-3，n=1，2，3，…

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对an+1=(

2

-1)(an+2)进行整理可得到an+1-

2

=(

2

-1)(an-

2

)，即数列{an-

2

}是首项为2-

2

，公比为

2

-1的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到an-

2

=

2

(

2

-1)n，进而得到an=

2

[(

2

-1)n+1]．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．当n=1时可得到b₁=a₁=2满足条件，然后假设当n=k时满足条件进而得到0＜bk-

2

≤a4k-3-

3

当n=k+1时再对bk+1-

2

=

3bk+4

2bk+3

-

2

进行整理得到bk+1-

2

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＜(3-2

2

)2(bk-

2

)≤(

2

-1)4(a4k-3-

2

)=a4k+1-

2

，进而可得证．

解答：解：（Ⅰ）由题设：an+1=(

2

-1)(an+2)=(

2

-1)(an-

2

)+(

2

-1)(2+

2

)=(

2

-1)(an-

2

)+

2

，an+1-

2

=(

2

-1)(an-

2

)．
所以，数列{an-

2

}是首项为2-

2

，公比为

2

-1的等比数列，an-

2

=

2

(

2

-1)n，
即a_n的通项公式为an=

2

[(

2

-1)n+1]，n=1，2，3，．
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n=1时，因

2

＜2，b₁=a₁=2，所以

2

＜b1≤a1，结论成立．
（ⅱ）假设当n=k时，结论成立，即

2

＜bk≤a4k-3，
也即0＜bk-

2

≤a4k-3-

3

．
当n=k+1时，bk+1-

2

=

3bk+4

2bk+3

-

2

=

(3-2 2 )bk+(4-3 2 )

2bk+3

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＞0，
又

1

2bk+3

＜

1

2 2 +3

=3-2

2

，
所以bk+1-

2

=

(3-2 2 )(bk- 2 )

2bk+3

＜(3-2

2

)2(bk-

2

)≤(

2

-1)4(a4k-3-

2

)=a4k+1-

2

．
也就是说，当n=k+1时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知

2

＜bn≤a4n-3，n=1，2，3，．

点评：本题主要考查求数列的通项公式的方法--构造法和数学归纳法的一般过程．考查综合运用能力和计算能力．