Question

7．设函数g（x）=x²-2（x∈R），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x）+x+4，x＜g（x）}\\{g（x）-x，x≥g（x）}\end{array}\right.$
（1）求f（3）
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）求g（3）=7＞3，从而x=3带入第一段函数，便可求出f（3）；
（2）g（x）带入f（x）便可得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2}&{x＜-1，或x＞2}\\{{x}^{2}-x-2}&{-1≤x≤2}\end{array}\right.$，对每段上的二次函数配方便可得出每段函数的值域，从而求并集即可得出f（x）的值域．

解答 解：（1）∵g（3）=7＞3；
∴f（3）=g（3）+3+4=14；
（2）解x＜x²-2得，x＜-1，或x＞2，解x≥x²-2得，-1≤x≤2；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2}&{x＜-1，或x＞2}\\{{x}^{2}-x-2}&{-1≤x≤2}\end{array}\right.$；
∴①x＜-1或x＞2时，f（x）=$（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}$＞f（-1）=2；
②-1≤x≤2时，f（x）=$（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$∈$[f（\frac{1}{2}），f（2）]$=[-$\frac{9}{4}$，0]；
∴综上，函数f（x）的值域是[-$\frac{9}{4}$，0]∪（2，+∞）．

点评 考查已知函数求值的方法，函数值域的概念，解一元二次不等式，分段函数值域的求法，配方求二次函数值域的方法．