Question

【题目】已知函数.

（1）若在上是减函数，求实数的最大值；

（2）若，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据函数单调性可将问题转化为在上恒成立问题，通过分离变量的方式将问题转化为，利用导数求得的最大值，进而得到结果；

（2）将问题转化为的证明；利用单调递增和零点存在定理可确定存在，使得，从而得到；根据导函数正负可确定单调性，进而得到，化简后，结合基本不等式可证得结论.

由函数解析式可知，定义域为.

（1），

在上是减函数，在上恒成立，即恒成立

令，则，在上单调递增，

，，解得：，

的最大值为.

（2）由（1）知：，则，

在上单调递增.

，当时，，，此时，

由零点存在定理可知，存在，使得，即，

.

当时，；当时，，

当时，单调递减；当时，单调递增，

（当且仅当，即时取等号）.

当时，.