Question

抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反象后，沿平行于抛物线对称轴的肖向射出，反之亦然．如图所示，今有抛物线C，其顶点是坐标原点，对称辅为x轴．开口向右．一光源在点M处，由其发出一条平行于x轴的光线射向抛物线C卜的点P（4.4），经抛物线C反射后，反射光线经过焦点F后射向抛物线C上的点Q，再经抛物线C反射后又沿平行于X轴的方向射出，途中经直线l：2x-4y-17=0上点N反射后又射回点M．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求PQ的长度；
（3）判断四边形MPQN是否为平行四边形，若是请给出证明，若不是请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线方程为y²=2px，将P （4，4）代入可得抛物线方程；
（2）确定直线PF方程，代入抛物线方程，求出Q的坐标，即可求PQ的长度；
（3）求出M的坐标，证明MN的斜率与PQ的斜率相等，即可得到结论．

解答：解：（1）设抛物线方程为y²=2px，将P （4，4）代入可得p=2，故抛物线方程为y²=4x，…（4分）
（2）由y²=4x可得F（1，0），则直线PF方程为：y=

4

3

（x-1）
即x=

3y+4

4

代入y²=4x，得y²=3y+4解得y=4或-1，
故Q的纵坐标为-l，可得Q（

1

4

，-1），故|PQ|=

25

4

…（5分）
（3）四边形MPQN是平行四边形                 …（1分）
下面证明：先求出M的坐标，M的纵坐标为4，故设M（x₀，4），
由光线性质知M关于直线的对称点M₁在直线QN上，故M₁（x₁，-1），
则MM₁中点（

x0+x1

2

，

3

2

）在直线上，且MM斜率为-2，得x₀+x₁-6-17=0，

4-(-1)

x0- x   1

=-2，
解得：M（

41

4

，4），
所以N（

13

2

，-1）
所以MN的斜率为

4-(-1)

41 4 - 13 2

=

5

15 4

=

4

3

，与PQ斜率相等，
故MN∥PQ，又MP∥QN，故四边形MPQN是平行四边形．…（4分）

点评：本题考查抛物线方程，考查两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．