Question

抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y²=2px（p＞0）,一光源在点M（，4）处，由其发出的光线沿平行于抛物线对称轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线对称轴的方向射出，途中遇到直线l:2x-4y-17=0上的点N，再折射后又射回点M（如图所示）.

(1)设P、Q两点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂)，证明：y₁y₂=-p²;

(2)求抛物线的方程；

（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

答案：（1）证明：由抛物线的光学性质及题意知，光线PQ必过抛物线的焦点（,0），设直线方程为y=k(x-).

由

得y²-y-p²=0.

由韦达定理得y₁y₂=-p².

当直线PQ的斜率不存在时，x=,y₁y₂=-p²也成立.

（2）解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设M（,4）关于直线l的对称点为M′（x′,y′），则

解之，得

所以直线QN的方程为y=-1，Q点的纵坐标为y₂=-1，由题意知P点的纵坐标y₁=4.由（1）的结论知y₁y₂=-p²，即p²=4,p=2.

所以抛物线方程为y²=4x.

(3)解：P点的坐标为P（4，4），

由

解得即N（，-1）.

所以直线PN的方程为2x+y-12=0.

设M点关于直线PN的对称点为M₁（x₁,y₁），则

解之，得

M₁(，-1)的坐标是抛物线y²=4x的解，故抛物线上存在一点（，-1）与点M关于直线PN对称.