Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinx-cosx+a-1且a为常数．
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期及单调增区间；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数解析式为2sin（2x+

π

6

）+a，周期为 T=

2π

ω

，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范围即得递增区间．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，求得2x+

π

6

的范围，利用单调性得 2x+

π

6

=

7π

6

 时，f（x）有最小值 4，解方程得到a值．

解答：解：函数f（x）=1+2cos2x+

3

sin2x+a-1=2sin（2x+

π

6

）+a．
（1）∴f（x）的最小正周期为 T=

2π

ω

=π，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，∴递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）当x∈[0，

π

2

]时，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴当 2x+

π

6

=

7π

6

 时，f（x）的最小值为：2×（-

1

2

）+a=4，故 a=5．

点评：本题考查三角函数的单调性、周期性以及最值的求法，判断2x+

π

6

=

7π

6

 时，f（x）有最小值是解题的关键．