Question

（09年东城区期末文）（14分）

如图,在直三棱柱中,,为中点.

(Ⅰ)求证:;

(Ⅱ)求证: ∥平面 ;

(Ⅲ)求二面角的大小.

Answer 1

解析：解法一: (Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为.

由可得.

所以.     ………………..4分

(Ⅱ)设与交于点则为中点.

在中, 连结,分别为的中点,

故为的中位线,

∥,又平面,平面,

∥平面.                                      ………………9分

(Ⅲ)过作于,连结.

由底面可得.

故为二面角的平面角.

在中,,

在Rt中,

二面角的大小为 .  ……………………………………14分

 

解法二 直三棱柱,底面三边长,

两两垂直.

如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,

则.

  (Ⅰ),

   ,故.                …………….4分

 (Ⅱ)同解法一 ……………………………………………………………..………..9分

(Ⅲ)平面的一个法向量为,

设平面的一个法向量为,

,,

由得

令,则.

则.

故＜＞=.

二面角的大小为.  ……………………………….14分