Question

已知函数f（x）=x³-3ax-1（a≠0）．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，方程f（x）=m有三个不等的实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的导数，令导数等于零，根据导数的符号与函数单调性的关系即可求出f（x）的单调区间与极值；
（2）f（x）在x=-1处取得极值，可以f（x）的解析式与极值；结合图象求出方程f（x）=m有三个不等的实根时m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-3ax-1（a≠0），∴f′（x）=3x²-3a=3（x²-a）；
当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）是R上的增函数，无极值；
当a＞0时，f′（x）=3（x+

a

）（x-

a

）；∴当x＜-

a

时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
当-

a

＜x＜

a

时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，当x＞

a

时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
∴当x=-

a

时，f（x）有极大值2a

a

-1；当x=

a

时，f（x）有极小值-2a

a

-1；
（2）∵f（x）的导数是f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），且f（x）在x=-1处取得极值，
∴3[（-1）²-a]=0，∴a=1；∴f′（x）=3（x+1）（x-1）；
由（1）知，当x=-1时，f（x）有极大值1；当x=1时，f（x）有极小值-3；如图，
方程f（x）=m有三个不等的实根时，-3＜m＜1；
∴m的取值范围是{m|-3＜m＜1}．

点评：本题考查了利用函数的导数来判定函数的单调性与求极值的问题，是中档题．