Question

设A、B分别为椭圆＝1(a，b＞0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x＝4为它的右准线．

(1)求椭圆的方程；

(2)设P为右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依题意得，解得 　　从而b＝，故椭圆方程为＝1． 　　(2)解法一：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x0，y0)． 　　∵M点在椭圆上，∴　　① 　　又M点异于顶点A、B，∴－2＜x0＜2． 　　由P、A、M三点共线可得P(4，) 　　从而＝(x0－2，y0)，＝(2，)． 　　∴＝2x0－4＋　　② 　　将①式代入②式简化得＝(2－x0)． 　　∵2－x0＞0，∴＞0．于是∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内． 　　解法二：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．设P(4，λ)(λ≠0)，M(x1，y2)，N(x2，y2)，则直线AP的方程 　　y＝(x＋2)，直线BP的方程为y＝(x－2)． 　　∵点M、N分别在直线AP、BP上， 　　∴y1＝(x1＋2)，y2＝(x2－2)．从而y1y2＝(x1＋2)(x2－2)　　③ 　　联立消去y得(27＋λ2) 　　x2＋4λ2x＋4(λ2－27)＝0． 　　∵x1，－2是方程的两根，∴(－2)·x1＝ 　　即x1＝．④ 　　又＝(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2．⑤ 　　于是由③、④式代入⑤式化简可得 　　＝(x2－2)． 　　∵N点在椭圆上，且异于顶点A、B， 　　∴x2－2＜0． 　　又∵λ≠0，∴，从而＜0， 　　故∠MBN为钝角，即点B在以NM为直径的圆内． 　　解法三：由(1)得A(－2，0)，B(2，0)．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则－2＜x1＜2，－2＜x2＜2．又MN的中点Q的坐标为()， 　　∴|BQ|2|MN|2＝()2＋()2[(x1－x3)2＋(y1－y2)2]．化简得 　　|BQ|2|MN|2＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2． 　　直线AP的方程为y＝(x＋2)，直线BP的方程为y＝(x－2)． 　　∵点P在准线x＝4上， 　　∴，即y2＝　　⑦ 　　又∵M点在椭圆上， 　　∴＝1，即　　⑧ 　　于是将⑦、⑧式代入⑥式化简可得 　　|BQ|2|MN|2＝(2－x1)(x2－2)＜0． 　　从而B在以MN为直径的圆内．