题目内容

在等式cos2x=2cos2x-1的两边对x求导（cos2x）′=（2cos2x-1）′。由求导法则得（-sin2x）·2=4cosx·（-sinx），化简后得等式sin2x=2sinxcosx。
（1）利用上述想法（或者其他方法），试由等式（x∈R，整数n≥2）证明：。
（2）对于整数，n≥3，求证：
（i）；
（ii）；
（iii）。

解：（1）在等式

两边对x求导得

移项得
   （*）；
（2）（i）在（*）式中，令x=-1
整理得
；
（ii）由（1）知
两边对x求导，得

在上式中令x =-1，得

即
亦即
又由（i）知
由①+②得；
（iii）将等式
两边在[0，1]上对x积分

由微积分基本定理，得

所以。

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请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：n[(1+x)n-1-1]=
n
k=2
k
C
k
n
xk-1．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）
n
k=1
(-1)kk
C
k
n
=0；
（ii）
n
k=1
(-1)kk2
C
k
n
=0；
（iii）
n
k=1
1
k+1
C
k
n
=
2n+1-1
n+1
．
请先阅读：在等式cos2x=2cos2x-1 (x∈R)的两边对x求导（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则得（-sin2x）·2=4cosx（-sinx），化简后得等式sin2x=2sinxcosx，
(Ⅰ)利用上述想法（或者其他方法），试由等式（x∈R，整数n≥2），证明：；
(Ⅱ)对于整数n≥3，求证：
(ⅰ)；
(ⅱ)；
(ⅲ)。
请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）；
（ii）；
（iii）．
请先阅读：
在等式cos2x=2cos2x-1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则，得（-sin2x）•2=4cosx•（-sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：．
（2）对于正整数n≥3，求证：
（i）；
（ii）；
（iii）．