题目内容
请先阅读：在等式cos2x=2cos2x-1 (x∈R)的两边对x求导（cos2x）′=（2cos2x-1）′，由求导法则得（-sin2x）·2=4cosx（-sinx），化简后得等式sin2x=2sinxcosx，
(Ⅰ)利用上述想法（或者其他方法），试由等式
（x∈R，整数n≥2），证明：
；
(Ⅱ)对于整数n≥3，求证：
(ⅰ)
；
(ⅱ)
；
(ⅲ)
。
(Ⅰ)利用上述想法（或者其他方法），试由等式
（x∈R，整数n≥2），证明：；(Ⅱ)对于整数n≥3，求证：
(ⅰ)
；(ⅱ)
；(ⅲ)
。 证明：(Ⅰ)在等式
两边对x求导，得
，
移项得
。（*）
(Ⅱ)(ⅰ)在(*)式中，令x=-1，
整理，得
，
所以
。
(ⅱ)由(Ⅰ)知
，
两边对x求导，得
，
在上式中令x= -1，得
，
即
，
亦即
，①
又由(ⅰ)知，
，②
由①+②，得
。
(ⅲ)将等式
两边在[0，1]上对x积分，
，
由微积分基本定理，得
，
所以
。
两边对x求导，得，移项得
。（*）(Ⅱ)(ⅰ)在(*)式中，令x=-1，
整理，得
，所以
。(ⅱ)由(Ⅰ)知
，两边对x求导，得
，在上式中令x= -1，得
，即
，亦即
，①又由(ⅰ)知，
，②由①+②，得
。(ⅲ)将等式
两边在[0，1]上对x积分，，由微积分基本定理，得
，所以
。
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（
）的两边求导，得：
，
，化简得等式：
。
（
），证明：
。
，求证：
； （ii）
； （iii）
。
（
）的两边求导，得：
，
，化简得等式：
。
（
），证明：
。
，求证：
； （ii）
； （iii）
。
（
）的两边求导，得：
，
，化简得等式：
。
（
），证明：
。
，求证：
； （ii）
； （iii）
。
（
）的两边求导，得：
，由求导法则，得
，化简得等式：
．
（
），证明：
＝
．
，求证：（i）
＝0；
＝0；
．