Question

已知函数f（x）=x²+（a-1）x+b，f（1）=1．
（1）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象的对称轴是x=1，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）利用f（1）=1即可得出a，b的关系式，由于函数f（x）没有零点，可得△＜0，解出即可；
（2）利用（1）和函数f（x）的图象的对称轴是x=1，即可得出a，b，进而解得不等式f（x）＞1．

解答：解：（1）由f（1）=1得1+a-1+b=1，得a+b=1，
因为函数f（x）没有零点，所以x²+（a-1）x+b=0中△＜0，即（a-1）²-4b＜0，
又b=1-a，所以（a-1）²-4（1-a）＜0，化为a²+2a-3＜0，解得-3＜a＜1；
（2）函数f（x）的图象的对称轴是x=1，即-

a-1

2

=1，又b=1-a，联立解得a=-1，b=2．
∴x²-2x+2＞1，化为（x-1）²＞0，解得x≠1，所以f（x）＞1的解集为{x|x≠1}．

点评：熟练掌握“三个二次”的关系是解题的关键．