Question

某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的y﹣1条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下的x条（x＞1）．
（1）设第k次播放后余下a_k条，这里a₀=y，a_x=0，求a_k与a_k﹣1的递推关系式．
（2）求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y．

Answer 1

解：（1）依题意，第k次播放了 k+ （a_k-1﹣k）= a_k-1+ k，
∴a_k=a_k-1-（ a_k-1+ k）．
∴a_k-1=k+ a_k，
即a_k与a_k﹣1的递推关系式为a_k﹣1=k+ a_k．
（2）∵a₀=1+ a₁ =1+ （2+ a₂）
=1+2× +（ ）²a₂ =1+2× +3×（ ）²+（ ）³a₃
=1+2× +3×（ ）²+···+x×（ ）^x﹣1+（ ）^xa_x．
∵a_x=0，
∴y=1+2× +3×（ ）²++x×（ ）^x﹣1．
用错位相减法求和，可得y=49+（x﹣7）× ．
∴