Question

某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的y-1条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下的x条（x＞1）．
（1）设第k次播放后余下a_k条，这里a=y，a_x=0，求a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，第k次播放了k+（a_k-1-k）=a_k-1+k，由此能够推导出a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）由a=1+a₁=1+2×+3×（）²++x×（）^x-1+（）^xa_x推导出y=1+2×+3×（）²++x×（）^x-1，用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）×．由此可得到这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49．
解答：解：（1）依题意，第k次播放了
k+（a_k-1-k）=a_k-1+k，
∴a_k=a_k-1-（a_k-1+k）．
∴a_k-1=k+a_k，
即a_k与a_k-1的递推关系式为a_k-1=k+a_k．
（2）∵a=1+a₁
=1+（2+a₂）
=1+2×+（）²a₂
=1+2×+3×（）²+（）³a₃
=1+2×+3×（）²++x×（）^x-1+（）^xa_x．
∵a_x=0，
∴y=1+2×+3×（）²++x×（）^x-1．
用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）×．∴
故这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49．
点评：本题考查数列的性质和运用，解题时要认真审题．仔细解答．