Question

已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的图象连续不断）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=

1

8

时，证明：存在x₀∈（2，+∞），使f(x0)=f(

3

2

)；
（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

Answer 1

（I）f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，x∈(0，+∞)，
令f′(x)=0，解得x=

2a

2a

．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：



 所以，f（x）的单调递增区间是(0，

2a

2a

)，f(x)的单调递减区间是(

2a

2a

，+∞)．
（II）证明：当a=

1

8

时，f(x)=lnx-

1

8

x2．
由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，
在（2，+∞）内单调递减．
令g(x)=f(x)-f(

3

2

)．
由于f（x）在（0，2）内单调递增，
故f(2)＞f(

3

2

)，即g(2)＞0．
取x′=

3

2

e＞2，则g(x′)=

41-9e2

32

＜0．
所以存在x₀∈（2，x'），使g（x₀）=0，
即存在x0∈(2，+∞)，使f(x0)=f(

3

2

)．
（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'＞2，且g（x'）＜0即可）
（III）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知α＜

2a

2a

＜β，
从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故

f(2)≥f(α)≥f(1) f(2)≥f(β)≥f(3).

即

ln2-4a≥-a ln2-4a≥ln3-9a.

从而

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．