Question

已知函数f（x）=x+，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（I）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]（其中为e自然对数的底数）使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，其定义域为（0，+∞），知，，由x=1是函数h（x）的极值点，知3-a²=0，由此能求出a．
（Ⅱ）对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）成立等价于f（x）_max＜g（x）_max．当x∈[1，e]时，，故函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数，g（x）_max=g（e）=e+1．由此能求出a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）∵，其定义域为（0，+∞），…（1分）
∴，…（2分）
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h'（1）=0，即3-a²=0
∵a＞0，∴．                                          …（4分）
经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴…（5分）
（Ⅱ）对任意的x₁∈[1，e]，都存在x₂∈[1，e]使得f（x₁）＜g（x₂）
成立等价于f（x）_max＜g（x）_max…（6分）
当x∈[1，e]时，，
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数，
∴g（x）_max=g（e）=e+1…（7分）
，x∈[1，e]，a＞0
①当0＜a≤1时，x∈[1，e]，，
∴函数在[1，e]上是增函数，
∴＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立，满足题意；       …（9分）
②当1＜a＜e时，若1≤x＜a，则，
若a＜x≤e，则
∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数，
而f（1）=1+a²，
a）f（1）＜f（e）即时，
，＜e+1
即f（x）_max＜g（x）_max恒成立；
b）f（1）≥f（e）即时，
f（x）_max=f（1）=1+a²
此时，f（x）_max≥g（x）_max，不合题意；               …（12分）
③当a≥e时，x∈[1，e]，，
∴函数在[1，e]上是减函数，
∴f（x）_max=f（1）=1+a²
此时，f（x）_max＞g（x）_max，不合题意；                    …（13分）
综上知，a的取值范围为．                             …（14分）
点评：本题考查利用导数求函数最的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．