Question

函数y=x²+x+

1

2

（x∈[n，n+1]，其中n为正整数）的值域中共有2008个整数，则正整数n=

 

．

Answer 1

分析：将二次函数进行配方，然后根据函数在[n，n+1]上的单调性，确定最大的整数和最小的整数，即可．然后利用等差数列的定义求正整数的个数．

解答：解：y=f（x）=x²+x+

1

2

=(x+

1

2

)2+

3

4

，对称轴为x=-

1

2

，
则函数在区间上[n，n+1]上单调递增，
则f(n)=n2+n+

1

2

，f(n+1)=(n+1)2+(n+1)+

1

2

，
因为n为正整数，所以（n+1）²+（n+1），n²+n为整数．
则值域中最大的整数为（n+1）²+（n+1），最小的整数为n²+n+1，
因为值域中共有2008个整数，
所以（n+1）²+（n+1）-（n²+n+1）+1=2008，
即2n=2006，解得n=1003．
故答案为：1003．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，以及等差数列的应用，综合性较强．