Question

已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为2，则其体积的最大值为（　　）

• A、4
• B、

  4

  3

• C、2
• D、

  2

  3

Answer 1

分析：设H为底面△ABC的中心，延长AH交BC于E，连接PH．设AB=2x，则AH=

2 3

3

x，得三棱锥P-ABC体积，最后利用基本不等式求最值，可得正三棱锥P-ABC体积的最大值．

解答：解：设H为底面△ABC的中心，延长AH交BC于E，连接PH
∵三棱锥P-ABC是正三棱锥
∴PH⊥平面ABC，且AE是BC边上的中线
设AB=2x，则AH=

2

3

AE=

2

3

•

3

x=

2 3

3

x
Rt△PAH中，PH=

PA2-AH2

=2

1- 1 3 x2

∴三棱锥P-ABC体积V=

1

3

S_△ABC•AH=

1

3

×

3

4

（2x）²×2

1- 1 3 x2

=

4

3

x²

3-x2

∵x²

3-x2

=2

1 2 x2• 1 2 x2•(3-x2)

≤2×

( 3 3 )3

=2，
可得V=

4

3

x²

3-x2

≤

4

3

，当且仅当

1

2

x²=3-x²时，
即x=

2

时，正三棱锥P-ABC体积的最大值为

4

3

．
故选B．

点评：本题给出正三棱锥的侧棱长，求体积的最大值．着重考查了正三棱锥的性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．