Question

已知函数f（x）=x³-ax²-bx
（1）若a=1，b=1，求f（x）的单调减区间
（2）若f（x）在x=1处有极值，求ab的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导数f′（x）=3x²-2x-1，令其小于0解不等式即可；
（2）f（x）在x=1处有极值可推得2a+b=3，下面利用基本不等式可求，注意分类讨论．

解答：解：（1）若a=1，b=1，则函数f（x）=x³-ax²-bx=x³-x²-x
所以f′（x）=3x²-2x-1，令f′（x）=3x²-2x-1＜0，解得-

1

3

＜x＜1
故此时函数的单调递减区间为：（-

1

3

，1）．
（2）若f（x）在x=1处有极值，则f′（1）=0，
又f′（x）=3x²-2ax-b，所以3-2a-b=0，即2a+b=3
当ab都为正数时，由基本不等式可知ab=

1

2

（2a）b≤

1

2

（

2a+b

2

）²=

9

8

当且仅当2a=b即a=

3

4

，b=

3

2

时取到等号；而当ab中有负数时也满足ab≤

9

8

故ab的最大值为：

9

8

点评：本题为函数导数的综合应用，涉及基本不等式及分类讨论的思想，属中档题．