Question

3．对于函数y=f（x），当x∈（0，+∞）时，总有f（x）＜xf′（x），若m＞n＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）

• A． $\frac{f（m）}{n}$＜$\frac{f（n）}{m}$
• B． $\frac{f（m）}{m}$＜$\frac{f（n）}{n}$
• C． $\frac{f（m）}{n}$＞$\frac{3f（n）}{m}$
• D． $\frac{f（m）}{m}$＞$\frac{f（n）}{n}$

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，当x∈（0，+∞）时，总有f（x）＜xf′（x），可判断函数单调性，解决比较大小．

解答 解：构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{x}$，F′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$
∵当x∈（0，+∞）时，总有f（x）＜xf′（x），
∴F′（x）＞0，
所以函数F（x）在（0，+∞）单调递增，
∵m＞n＞0，∴F（m）＞F（n），
∴$\frac{f（m）}{m}$＞$\frac{f（n）}{n}$
故选：D．

点评 本题考察了复合函数求导问题，导数应用判断单调性，比较大小，关键是构造函数，属于中档题．