题目内容

设函数f（x）=
3
sin2x+2cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
分析：（1）根据二倍角的三角函数公式和辅助角公式，将函数表达式化简得f（x）=2sin（2x+
π
6
）+1，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据正弦函数的图象与性质，令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ解出-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ（k∈Z），由此可得函数f（x）的单调递增区间．
解答：解：（1）∵2cos2x=1+cos2x，
∴f（x）=
3
sin2x+cos2x+1=2sin（2x+
π
6
）+1
∴函数f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π；
（1）由（1）得f（x）=2sin（2x+
π
6
）+1，
令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ（k∈Z），得-
π
3
+kπ≤x≤
π
6
+kπ（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间是[-
π
3
+kπ，
π
6
+kπ]，（k∈Z）．
点评：本题给出三角函数表达式，求它的最小正周期和单调增区间．着重考查了三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=3sin（2x+
π
3
），给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线x=
π
12
成轴对称；③它的图象关于点（
π
3
，0）成中心对称；④它在区间[-
5π
12
，
π
12
]上是增函数．其中正确命题的序号是
 
．
设函数f（x）=
3
sinθ
3
x3+
cosθ
2
x2+4x-1，其中θ∈[0，
5π
6
]，则导数f′（-1）的取值范围是
 
．
设函数f（x）=3sin（ωx+
π
4
）（ω＞0），x∈（-∞，+∞），且以
2π
3
为最小正周期．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（
2
3
a+
π
12
）=
12
5
，求sinα的值．
设函数f（x）=3sin（2x+
π
3
），给出四个命题：①它的周期是2π；②它的图象关于直线x=
π
12
成轴对称；③它的图象关于点（-
π
3
，0）成中心对称；④它在区间[-
5π
12
，
π
12
]上是增函数．其中正确命题的序号是（　　）
设函数f（x）=3sin（2x+φ），φ∈（-π，0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线x=
π
8

（1）求φ；
（2）求y=f（x）的减区间；
（3）当x∈[0，
π
2
]时求y=f（x）的值域．

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