Question

 （注意：在试题卷上作答无效）

如图，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB＝120°，PM＝AC＝1，BC＝2，异面直线AM与直线PC所成的角为60°.

（1）求二面角M－AC－B大小的正切值；

（2）求三棱锥P－MAC的体积.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：方法一：（1）取BC的中点N，连结MN.由已知，PMCN，则MNPC，所以MN⊥平面ABC.过点N作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连结MH，由三垂线定理知，AC⊥MH.所以∠MHN为二面角M－AC－B的平面角.连结AN，在△ACN中，由余弦定理，得.

由已知∠AMN＝60°，在Rt△ANM中，.在Rt△CHN中，.           

在Rt△MNH中，.

故二面角M－AC－B的正切值是.     ……6分                               

（2）因为四边形PCNM为正方形，MN⊥平面ABC，则

.  ……12分      

方法二：（Ⅰ）在平面ABC内，过点C作CB的垂线，

按如图所示建立空间直角坐标系.      

设点，由已知可得，点，

，则.

因为直线AM与直线PC所成的角为60°，则

，即.

解得z0＝1，从而.   

设平面MAC的一个法向量为n，则，即.

取，则n.    又m＝(0，0，1)为平面ABC的一个法向量，设向量m与n的夹角为θ，则.从而.    显然，二面角M－AC－B的平面角为锐角，故二面角M－AC－B的正切值是. ……6分

（Ⅱ）因为a＝(1，0，0)为平面PCM的一个法向量，，则

点A到平面PCM的距离.    

又PC＝PM＝1，则.   (12分)