Question

【题目】如图,四棱锥中, 为正三角形, , 为棱的中点.

(1)求证:平面平面;

(2)若直线与平面所成角为,求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：

本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、利用空间向量求二面角．(1)

，可得为平行四边形，易得，又，可得平面，则结论易得；(2)由题意证明，建立空间直角坐标系，求出又，利用向量的夹角公式求解即可．

试题解析：

(1)

为中点，

且

又且，

所以且

为平行四边形，

．

又为正三角形，

从而

又

平面

又平面

平面平面．

(2)因为

所以

又

所以

平面

因此与平面所成的角，

故，所以．

建立如图所示的空间直角坐标系．

设AD=4，则B(8，0，0)，P(0，2)，E(4，1)，

所以

设为平面的法向量，

由，

令

由（1）知为平面的一个法向量，

所以．

由图形知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为