Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数既有一个极小值又有一个极大值，求的取值范围；

（3）若存在，使得当时， 的值域是，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 的增区间为，减区间为；(2) ；(3) .

【解析】试题分析：

(1)当时， ，利用导函数研究函数的单调性可得函数的增区间为，减区间为；

(2)求解导函数有，令，则方程必有两个不等的正根，据此结合二次方程根的分布可得实数的取值范围是；

(3)求解导函数， ，分类讨论时和时两种情况可得的取值范围是.

试题解析：

（1）的定义域为，

当时， ，令得，

当时，当时， ，

∴函数的增区间为，减区间为；

（2），则，

令，若函数有两个极值点，

则方程必有两个不等的正根，

设两根为，于是，解得，

当时， 有两个不相等的正实根，设为，不妨设，

则，

当时， ， ， 在上为减函数；

当时， ， 在上为增函数；

当时， ，函数在上为减函数．

由此， 是函数的极小值点， 是函数的极大值点．符合题意 ．

综上，所求实数的取值范围是；

（3），

①当时， ，

当时， 的上为减函数；

当时， 在上为增函数，

所以，当时， 的值域是，

不符合题意．

②当时， ，

（i）当，即时，当变化时， 的变化情况如下：

				1
	-	0	+	0	-
	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

若满足题意，只需满足，即，

整理得，令，

当时， ，所以在上为增函数，

即当时， ，

可见，当时， 恒成立，

故当时，函数的值域是；

所以满足题意．

（ii）当，即时， ，当且仅当时取等号，

所以在上为减函数，从而在上为减函数，

符合题意；

（iii）当，即时，当变化时， 的变化情况如下表：

		1
	-	0	+	0	-
	减函数	极小值0	增函数	极大值	减函数

若满足题意，只需满足，且（若，不符合题意），

即，且，

又，所以，此时， ，

综上， ，

所以，实数的取值范围是．