Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是线段A₁D，BC₁上的动点，则线段MN的最小值为（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．

  3

• D．

  2 3

  3

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系求出点M，N的坐标然后利用空间中两点间的距离公式求出|MN|的表达式然后根据表达式的特征求其最小值即可．

解答：解：建立如上图所示的空间直角坐标系则A₁（1，0，1），C₁（0，1，1），B（1，1，0）
∴

OA1

=（1，0，1），

BC1

=（-1，0，1）
设M（x，0，y），N（m，n，p）
∵

OM

=λ1

OA

，

BN

=λ2

BC1

（0≤λ₁，λ₂≤1）
∴

x=λ1 y=λ1

，

m=1-λ2 n=1 p=λ2

即M（λ₁，0，λ₁），N（1-λ₂，1，λ₂）
∴由空间中两点间的距离公式可得|MN|=

(λ1+λ2-1) 2+1+(λ1-λ2)2

≥1
  当且仅当

λ1+λ2-1=0 λ1=λ2

即

λ1= 1 2 λ2= 1 2

时取“=”
∴线段MN的最小值为1
故答案选A

点评：本题主要考察了空间中两点间的距离的计算，属中等难度的试题．解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系然后利用空间中两点间的距离公式求出|MN|但利用向量的共线定理得出

OM

=λ1

OA

，

BN

=λ2

BC1

（0≤λ₁，λ₂≤1）从而求出点M，N的坐标是难点！