Question

【题目】数列的前n项和记为，，数列满足：

（1）求数列，的通项公式；

（2）数列满足，求数列的前n项和；

（3）若对任意正整数n都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）

【解析】

（1）由可得是等比数列，公比是-2，首项为1，由此可求出的通项公式，再对化简变形即可求出的通项公式；（2）根据错位相减法求出数列的前n项和即可；（3）令，利用作差法研究单调性，分析可知，从而解不等式即可求得结果.

（1）∵，，

∴，，

两式相减，则，即，

∴，，

∵∴，

∴是等比数列，公比是-2，首项为1，

∴.

∵，，

∴；

（2）∵∴，

∴，

，

两式相减得

.

∴；

（3）令，

，

当时，，∴，即，

当时，，∴即，

当时，，∴，

∴…，

∴当时，．

∵对任意正整数n都成立，

∴，

解得．

所以实数x的取值范围是．