Question

（本小题满分12分）已知向量
（Ⅰ）求向量的长度的最大值；
（Ⅱ）设，且，求的值.

Answer 1

（1）的长度的最大值为2. （2）

本试题主要是考查了向量的数量积公式的运用，以及两角和差的三角恒等变形，解决三角方程的综合问题。
（1）用坐标关系式表示出向量的模的平方就是向量的平方，借助于向量的数量积得到关于模的长度表示，结合三角函数的张有界性得到最值。
（2）利用向量的垂直关系式，得到数量积为零，那么可知，结合方程的知识得到其解。
（1）解法1：则

，即
当时，有所以向量的长度的最大值为2.
解法2：，，
当时，有，即，
的长度的最大值为2.
（2）解法1：由已知可得
。
，，即。
由，得，即。
,于是。
解法2：若，则，又由，得

，，即
，平方后化简得  
解得或，经检验，即为所求