Question

9．设a+b=2，b＞0，则$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由题意得$\frac{a+b}{2}$=1代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值

解答 解：∵a+b=2，
∴$\frac{a+b}{2}$=1，
∴$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$=（$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$）$\frac{a+b}{2}$=$\frac{a}{4|a|}$+$\frac{b}{4|a|}$+$\frac{|a|}{b}$，
∵b＞0，|a|＞0，
∴$\frac{b}{4|a|}$+$\frac{|a|}{b}$≥1（当且仅当b²=4a²时取等号），
∴$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$≥$\frac{b}{4|a|}$+1，
故当a＜0时，$\frac{1}{2|a|}$+$\frac{|a|}{b}$的最小值为$\frac{3}{4}$．
故选：D

点评 本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力．