Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²+bx+c
（1）若函数h（x）=f（x）+g（x）是单调递增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=0时，两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点P，设曲线f（x），g（x）在P处的切线分别为l₁，l₂，若切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形，求P点坐标和c的值；
（3）当b=-2e²时，讨论关于x的方程=g（x²）的根的个数．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定出函数的自变量取值范围，利用函数是单调递增函数知道其导函数一定大于等于零．
法一：利用a+b≥2求最值的方法确定出b的取值范围即可；
法二：利用二次函数图象法求出b的取值范围即可．
（2）b=0时，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，据题意设出公共点，由切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形可知，一个倾斜角是另外一个的2倍列出方程求出公共点坐标即可，分情况讨论求出P，把P坐标代入到g（x）中即可求出c．
（3）设函数φ（x）=-g（x²），这个函数有几个零点就说明有几个根．把b=-2e²代入到这个函数中确定出函数解析式，然后利用导数研究函数单调性的能力并求出函数的最值，讨论最值的取值范围确定函数领点的个数即可求出根．
解答：解：（1），
依题，在（0，+∞）上恒成立，
法1：，又（当且仅当，即时取等）
∴．
法2：，令t（x）=2x²+bx+1，则t（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
由二次函数t（x）图象得，
；
2°，
综合1°、2°得．
（2）b=0时，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，
设P（x，y），l₁，l₂的倾斜角分别为α，β，
则，由于x＞0，则α，β均为锐角，
因为切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形依题，有以下两种情况：
1°α=2β时，，
此时，；
2°β=2α时，，
此时，．
（3）b=-2e²时，
令，
0＜x＜e时，∅^/（x）＞0；x＞e时，∅^/（x）＜0
∴∅（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，
∴，
又x→0时，∅（x）→-∞；x→+∞时，∅（x）→-∞
1°∅（e）＞0即时，函数∅（x）有两个零点即方程有两个根；
2°∅（e）=0即时，函数∅（x）有一个零点即方程有一个根；
3°∅（e）＜0即时，函数∅（x）没有零点即方程没有根．
点评：此题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，培养学生分类讨论的数学思想．