题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）若对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，试求a的取值范围；
（2）记g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．当a=1时，函数g（x）在区间[e^-1，e]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．

解：（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由f′（x）＞0解得 $\text{[math]}$ ，
由f′（x）＜0得 $\text{[math]}$
∴f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减
∴当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最小值 $\text{[math]}$
由于对于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，故a的取值范围是 $\text{[math]}$
（2）依题意得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，
所以 $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，
所以b的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据函数的单调区间求出函数的最小值，要使f（x）＞2（a-1）恒成立，需使函数的最小值大于2（a-1），从而求得a的取值范围．
（2）利用导数的符号求出单调区间，再根据函数g（x）在区间[e^-1，e]上有两个零点，得到 $\text{[math]}$ ，解出实数b的取值范围．
点评：本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．属于中档题．