题目内容
数列{an}满足a1=1，
=
+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求证{
}是等差数列；
（Ⅱ）若a1a2+a2a3+…+anan+1＞
，求n的取值范围．
| 1 |
| 2an+1 |
| 1 |
| 2an |
（Ⅰ）求证{
| 1 |
| an |
（Ⅱ）若a1a2+a2a3+…+anan+1＞
| 16 |
| 33 |
分析：（I）由
=
+1可得：
=
+2，从而可证；
（II）由（I）知an=
，从而有anan+1=
=
(
-
)，因此可化简为
＞
，故问题得解．
| 1 |
| 2an+1 |
| 1 |
| 2an |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
（II）由（I）知an=
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| (2n-1)(2n+1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n+1 |
| 16 |
| 33 |
解答：解：（I）由
=
+1可得：
=
+2所以数列{
}是等差数列，首项
=1，公差d=2
∴
=
+(n-1)d=2n-1
∴an=
（II）∵anan+1=
=
(
-
)
∴a1a2+a2a3++anan+1=
(
-
+
-
++
-
)=
(1-
)=
∴
＞
解得n＞16
| 1 |
| 2an+1 |
| 1 |
| 2an |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
| 1 |
| a1 |
∴
| 1 |
| an |
| 1 |
| a1 |
∴an=
| 1 |
| 2n-1 |
（II）∵anan+1=
| 1 |
| (2n-1)(2n+1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
∴a1a2+a2a3++anan+1=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n+1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2n+1 |
| n |
| 2n+1 |
∴
| n |
| 2n+1 |
| 16 |
| 33 |
点评：本题主要考查构造法证明等差数列的定义及裂项法求和，属于中档题．
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