Question

已知直线l：

2x

a

+

y

b

=2(a＞2，b＞1)与曲线x²+y²-2x-2y+1=0相切且直线l交与x轴交于A点，交y轴于点B，则△AOB面积的最小值为

3+2

2

．

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准式方程后，找出圆心坐标和半径，设出A和B的坐标，利用A和B的坐标写出直线AB的方程，因为直线AB与圆相切，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，并让d等于半径r，列出关于a和b的关系式，然后设a-2等于m大于0，b-1等于n大于0，利用三角形的面积公式表示出三角形AOB的面积，利用基本不等式求出面积的最小值即可．

解答：解：将圆C的方程化为标准式方程得（x-1）²+（y-1）²=1，圆心C（1，1），半径r=1
∵直线l：

2x

a

+

y

b

=2(a＞2，b＞1)，
∴A（a，0），B（0，2b），
圆心C（1，1）到直线AB的距离d=r=1即

|2b+a-2ab|

a2+4b2

=1，两边平方化简得（a-2）（b-1）=1；
由a＞2，b＞1，可设a-2=m＞0，b-1=n＞0，且mn=1，
所以S_△AOB=ab=（m+2）（n+1）=mn+m+2n+2≥mn+2

2mn

+2=3+2

2

，当且仅当m=n即a=b+1时取等号．
所以三角形AOB面积的最小值为3+2

2

故答案为：3+2

2

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．