Question

已知直线l：

2x

a

+

y

b

=2(a＞2，b＞1)与曲线x²+y²-2x-2y+1=0相切且直线l交与x轴交于A点，交y轴于点B，则△AOB面积的最小值为______．

Answer 1

将圆C的方程化为标准式方程得（x-1）²+（y-1）²=1，圆心C（1，1），半径r=1
∵直线l：

2x

a

+

y

b

=2(a＞2，b＞1)，
∴A（a，0），B（0，2b），
圆心C（1，1）到直线AB的距离d=r=1即

|2b+a-2ab|

a2+4b2

=1，两边平方化简得（a-2）（b-1）=1；
由a＞2，b＞1，可设a-2=m＞0，b-1=n＞0，且mn=1，
所以S_△AOB=ab=（m+2）（n+1）=mn+m+2n+2≥mn+2

2mn

+2=3+2

2

，当且仅当m=n即a=b+1时取等号．
所以三角形AOB面积的最小值为3+2

2

故答案为：3+2

2